Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt[3]{1 + 13 x} - 3 \sqrt{x - 1}}{x - 2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt[3]{1 + 13 x} - lim_{x \to 2} 3 \sqrt{x - 1}}{x - 2}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 2} 1 + 13 x} - lim_{x \to 2} 3 \sqrt{x - 1}}{x - 2}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 2} 1 + lim_{x \to 2} 13 x} - lim_{x \to 2} 3 \sqrt{x - 1}}{x - 2}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{1 + lim_{x \to 2} 13 x} - lim_{x \to 2} 3 \sqrt{x - 1}}{x - 2}$

Schritt 5

Ziehe den Term $13$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt[3]{1 + 13 lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} 3 \sqrt{x - 1}}{x - 2}$

Schritt 6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt[3]{1 + 13 lim_{x \to 2} x} - 3 lim_{x \to 2} \sqrt{x - 1}}{x - 2}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[3]{1 + 13 lim_{x \to 2} x} - 3 \sqrt{lim_{x \to 2} x - 1}}{x - 2}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{1 + 13 lim_{x \to 2} x} - 3 \sqrt{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 1}}{x - 2}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{1 + 13 lim_{x \to 2} x} - 3 \sqrt{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1}}{x - 2}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + 13 \cdot 2} - 3 \sqrt{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1}}{x - 2}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + 13 \cdot 2} - 3 \sqrt{2 - 1 \cdot 1}}{x - 2}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $13$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + 26} - 3 \sqrt{2 - 1 \cdot 1}}{x - 2}$

Schritt 11.1.2

Addiere $1$ und $26$ .

$\frac{\sqrt[3]{27} - 3 \sqrt{2 - 1 \cdot 1}}{x - 2}$

Schritt 11.1.3

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{\sqrt[3]{3^{3}} - 3 \sqrt{2 - 1 \cdot 1}}{x - 2}$

Schritt 11.1.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{3 - 3 \sqrt{2 - 1 \cdot 1}}{x - 2}$

Schritt 11.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2 - 1}}{x - 2}$

Schritt 11.1.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{1}}{x - 2}$

Schritt 11.1.7

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{3 - 3 \cdot 1}{x - 2}$

Schritt 11.1.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{3 - 3}{x - 2}$

Schritt 11.1.9

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{x - 2}$

Schritt 11.2

Dividiere $0$ durch $x - 2$ .

$0$