Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^{2} + 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 2} x^{2} + 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - \sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - \sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 6 x}}{x^{2} - 4}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 6 x}}{x^{2} - 4}$

Schritt 9

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 2} x}}{x^{2} - 4}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{2} + 4} - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 2} x}}{x^{2} - 4}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{2} + 4} - \sqrt{2^{2} + 6 lim_{x \to 2} x}}{x^{2} - 4}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{2} + 4} - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 + 4} - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

Schritt 11.1.2

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{\sqrt[3]{8} - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

Schritt 11.1.3

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{\sqrt[3]{2^{3}} - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

Schritt 11.1.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{2 - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

Schritt 11.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{4 + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

Schritt 11.1.6

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{4 + 12}}{x^{2} - 4}$

Schritt 11.1.7

Addiere $4$ und $12$ .

$\frac{2 - \sqrt{16}}{x^{2} - 4}$

Schritt 11.1.8

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{2 - \sqrt{4^{2}}}{x^{2} - 4}$

Schritt 11.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 - 1 \cdot 4}{x^{2} - 4}$

Schritt 11.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{2 - 4}{x^{2} - 4}$

Schritt 11.1.11

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$\frac{- 2}{x^{2} - 4}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- 2}{x^{2} - 2^{2}}$

Schritt 11.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{- 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 11.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{(x + 2) (x - 2)}$