Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to - 1} \sin (x^{2} - x - 2)}{x - 1}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to - 1} x^{2} - x - 2)}{x - 1}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 2)}{x - 1}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sin ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 2)}{x - 1}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{\sin ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 2)}{x - 1}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{\sin ({(- 1)}^{2} - lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 2)}{x - 1}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{\sin ({(- 1)}^{2} + 1 - 1 \cdot 2)}{x - 1}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\sin (1 + 1 - 1 \cdot 2)}{x - 1}$

Schritt 6.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\sin (1 + 1 - 2)}{x - 1}$

Schritt 6.1.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin (2 - 2)}{x - 1}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{\sin (0)}{x - 1}$

Schritt 6.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{x - 1}$

Schritt 6.2

Dividiere $0$ durch $x - 1$ .

$0$