Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - 7 x^{2} + 12 x}{4 - x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 7 x^{2} + lim_{x \to 1} 12 x}{4 - x}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 7 x^{2} + lim_{x \to 1} 12 x}{4 - x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 7 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 12 x}{4 - x}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 7 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 12 x}{4 - x}$

Schritt 5

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 7 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 12 lim_{x \to 1} x}{4 - x}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{3} - 7 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 12 lim_{x \to 1} x}{4 - x}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{3} - 7 \cdot 1^{2} + 12 lim_{x \to 1} x}{4 - x}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{3} - 7 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1}{4 - x}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 7 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1}{4 - x}$

Schritt 7.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 7 \cdot 1 + 12 \cdot 1}{4 - x}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$\frac{1 - 7 + 12 \cdot 1}{4 - x}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$\frac{1 - 7 + 12}{4 - x}$

Schritt 7.5

Subtrahiere $7$ von $1$ .

$\frac{- 6 + 12}{4 - x}$

Schritt 7.6

Addiere $- 6$ und $12$ .

$\frac{6}{4 - x}$