Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{3} - 1^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{3} - 1^{2} + 1 - 1 \cdot 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 1^{2} + 1 - 1 \cdot 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Schritt 6.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + 1 - 1 \cdot 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 - 1 \cdot 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 - 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Schritt 6.1.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + 1 - 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Schritt 6.1.6

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1 - 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Schritt 6.1.7

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{0}{(x^{4} - x^{3}) - 2 x + 2}$

Schritt 6.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{0}{x^{3} (x - 1) - 2 (x - 1)}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$\frac{0}{(x - 1) (x^{3} - 2)}$

Schritt 6.3

Dividiere $0$ durch $(x - 1) (x^{3} - 2)$ .

$0$