Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} - 4 x}{x^{2} \cdot (3 x) - 4}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 4 x}{x^{2} \cdot (3 x) - 4}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 4 x}{x^{2} \cdot (3 x) - 4}$

Schritt 3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to - 1} x}{x^{2} \cdot (3 x) - 4}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 4 lim_{x \to - 1} x}{x^{2} \cdot (3 x) - 4}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1}{x^{2} \cdot (3 x) - 4}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 - 4 \cdot - 1}{x^{2} \cdot (3 x) - 4}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + 4}{x^{2} \cdot (3 x) - 4}$

Schritt 5.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{5}{x^{2} \cdot (3 x) - 4}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5}{3 x^{2} x - 4}$

Schritt 5.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{5}{3 (x \cdot x^{2}) - 4}$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{5}{3 (x^{1} x^{2}) - 4}$

Schritt 5.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5}{3 x^{1 + 2} - 4}$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{5}{3 x^{3} - 4}$