Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{2 x^{2} - 1}}{x - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \sqrt{2 x^{2} - 1}}{x - 1}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 1} \sqrt{2 x^{2} - 1}}{x - 1}$

Schritt 1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1 - \sqrt{lim_{x \to 1} 2 x^{2} - 1}}{x - 1}$

Schritt 1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1 - \sqrt{lim_{x \to 1} 2 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}}{x - 1}$

Schritt 1.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 - \sqrt{2 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}}{x - 1}$

Schritt 1.6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1 - \sqrt{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}}{x - 1}$

Schritt 1.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1 - \sqrt{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}{x - 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - \sqrt{2 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}}{x - 1}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - \sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}}{x - 1}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{2 - 1 \cdot 1}}{x - 1}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{2 - 1}}{x - 1}$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{x - 1}$

Schritt 3.1.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x - 1}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{x - 1}$

Schritt 3.1.7

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{x - 1}$

Schritt 3.2

Dividiere $0$ durch $x - 1$ .

$0$