Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} x^{x} - 1}{\ln (x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{x} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe $x^{x}$ als $e^{\ln (x^{x})}$ um.

$\frac{lim_{x \to 1} e^{\ln (x^{x})} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (x^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Schritt 3.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{e^{1 \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{e^{1 \cdot \ln (1)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $1 \cdot \ln (1)$ , indem du $1$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{e^{\ln (1^{1})} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Schritt 5.1.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{1^{1} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Exponenten.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{\ln (x)}$

Schritt 5.1.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{\ln (x)}$

Schritt 5.2

Dividiere $0$ durch $\ln (x)$ .

$0$