Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{6} + x) \cdot 1}{2}}{x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\sin (\frac{π}{6} + x)$ mit $1$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{6} + x)}{2}}{x}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{6} + x)}{x}$

Schritt 1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\frac{1}{2} \sin (lim_{x \to 0} \frac{π}{6} + x)}{x}$

Schritt 1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\frac{1}{2} \sin (lim_{x \to 0} \frac{π}{6} + lim_{x \to 0} x)}{x}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $\frac{π}{6}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\frac{1}{2} \sin (\frac{π}{6} + lim_{x \to 0} x)}{x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \sin (\frac{π}{6} + 0)}{x}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (\frac{π}{6} + 0)$ .

$\frac{\frac{\sin (\frac{π}{6} + 0)}{2}}{x}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Addiere $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$\frac{\frac{\sin (\frac{π}{6})}{2}}{x}$

Schritt 3.2.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{\frac{1}{2}}{2}}{x}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{x}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2 \cdot 2}}{x}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{4 x}$