Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \sec (5 x)}{\tan (3 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{\sec (lim_{x \to 0} 5 x)}{\tan (3 x)}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sec (5 lim_{x \to 0} x)}{\tan (3 x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sec (5 \cdot 0)}{\tan (3 x)}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Schreibe $\tan (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sec (5 \cdot 0)}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Schritt 3.2

Schreibe $\sec (5 \cdot 0)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Schritt 3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ zu dividieren.

$\frac{1}{\cos (5 \cdot 0)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wandle von $\frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$ nach $\sec (5 \cdot 0)$ um.

$\sec (5 \cdot 0) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Schritt 3.4.2

Wandle von $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ nach $\cot (3 x)$ um.

$\sec (5 \cdot 0) \cot (3 x)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\sec (0) \cot (3 x)$

Schritt 3.6

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$1 \cot (3 x)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $\cot (3 x)$ mit $1$ .

$\cot (3 x)$