Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \sin ((\frac{π}{2}) - x)}{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin ((\frac{π}{2}) - x)}{x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \sin ((\frac{π}{2}) - x)}{x}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to 0} (\frac{π}{2}) - x)}{x}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to 0} \frac{π}{2} - lim_{x \to 0} x)}{x}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $\frac{π}{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2} - lim_{x \to 0} x)}{x}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2} + 0)}{x}$

Schritt 6.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{x}$

Schritt 6.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{x}$

Schritt 6.2.1.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{x}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $0$ durch $x$ .

$0$