Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x + \frac{π}{6})}{x + \frac{π}{6}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x + \frac{π}{6})}{x + \frac{π}{6}}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \frac{π}{6})}{x + \frac{π}{6}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $\frac{π}{6}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x + \frac{π}{6})}{x + \frac{π}{6}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (0 + \frac{π}{6})}{x + \frac{π}{6}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Addiere $0$ und $\frac{π}{6}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{6})}{x + \frac{π}{6}}$

Schritt 3.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x + \frac{π}{6}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}}$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{x \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{x \cdot 6 + π}{6}}$

Schritt 3.2.4

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{6 x + π}{6}}$

Schritt 3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6 x + π}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (3)}{6 x + π}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3}{6 x + π}$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{6 x + π}$