Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x^{2} + 3 x} - 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x^{2} + 3 x} - lim_{x \to 0} 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x^{2} + 3 x} - lim_{x \to 0} 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Schritt 5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0^{2} + 3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0^{2} + 3 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{e^{0 + 3 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Schritt 8.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{e^{0 + 0} - 1 \cdot 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Schritt 8.1.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Schritt 8.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Schritt 8.1.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Schritt 8.2

Dividiere $0$ durch $e^{x^{2} + 4 x} - 1$ .

$0$