Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}}{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{1}{x - 1} + lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1}}{x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x - 1} + lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1}}{x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} x - 1} + lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1}}{x}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1} + lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1}}{x}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1} + lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1}}{x}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1} + \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x + 1}}{x}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1} + \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 1}}{x}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1} + \frac{1}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}}{x}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1} + \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 1}}{x}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\frac{1}{0 - 1 \cdot 1} + \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 1}}{x}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\frac{1}{0 - 1 \cdot 1} + \frac{1}{0 + 1}}{x}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{0 - 1} + \frac{1}{0 + 1}}{x}$

Schritt 11.1.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{\frac{1}{- 1} + \frac{1}{0 + 1}}{x}$

Schritt 11.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{\frac{1}{- 1} + \frac{1}{1}}{x}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{\frac{1}{- 1} + \frac{1}{- 1 (- 1)}}{x}$

Schritt 11.3.2

Bewege ein Minuszeichen des Nenners von $\frac{1}{- 1 (- 1)}$ zum Zähler.

$\frac{\frac{1}{- 1} + \frac{- 1 \cdot 1}{- 1}}{x}$

Schritt 11.3.3

Um $\frac{1}{- 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{\frac{1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1 \cdot 1}{- 1}}{x}$

Schritt 11.3.4

Um $\frac{- 1 \cdot 1}{- 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{\frac{1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1 \cdot 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}}{x}$

Schritt 11.3.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $1$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{- 1}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{\frac{- 1}{- - 1} + \frac{- 1 \cdot 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}}{x}$

Schritt 11.3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{- 1}{1} + \frac{- 1 \cdot 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}}{x}$

Schritt 11.3.5.3

Mutltipliziere $\frac{- 1 \cdot 1}{- 1}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{\frac{- 1}{1} + \frac{- 1 \cdot - 1}{- - 1}}{x}$

Schritt 11.3.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{- 1}{1} + \frac{- 1 \cdot - 1}{1}}{x}$

Schritt 11.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 1 - 1 \cdot - 1}{1}}{x}$

Schritt 11.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{- 1 + 1}{1}}{x}$

Schritt 11.3.7.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{\frac{0}{1}}{x}$

Schritt 11.3.8

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{0}{x}$

Schritt 11.4

Dividiere $0$ durch $x$ .

$0$