Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + e^{- x} - x^{2} - 2}{\sin^{2} (x) - x^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2}{\sin^{2} (x) - x^{2}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2}{\sin^{2} (x) - x^{2}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2}{\sin^{2} (x) - x^{2}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2}{\sin^{2} (x) - x^{2}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2}{\sin^{2} (x) - x^{2}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 2}{\sin^{2} (x) - x^{2}}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{- lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 2}{\sin^{2} (x) - x^{2}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{0} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 2}{\sin^{2} (x) - x^{2}}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{0} - 0^{2} - 1 \cdot 2}{\sin^{2} (x) - x^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 + e^{0} - 0^{2} - 1 \cdot 2}{\sin^{2} (x) - x^{2}}$

Schritt 8.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 + 1 - 0^{2} - 1 \cdot 2}{\sin^{2} (x) - x^{2}}$

Schritt 8.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1 + 1 - 0 - 1 \cdot 2}{\sin^{2} (x) - x^{2}}$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1 + 1 + 0 - 1 \cdot 2}{\sin^{2} (x) - x^{2}}$

Schritt 8.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 + 1 + 0 - 2}{\sin^{2} (x) - x^{2}}$

Schritt 8.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 + 0 - 2}{\sin^{2} (x) - x^{2}}$

Schritt 8.1.7

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2 - 2}{\sin^{2} (x) - x^{2}}$

Schritt 8.1.8

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (x) - x^{2}}$

Schritt 8.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sin (x)$ und $b = x$ .

$\frac{0}{(\sin (x) + x) (\sin (x) - x)}$

Schritt 8.3

Dividiere $0$ durch $(\sin (x) + x) (\sin (x) - x)$ .

$0$