Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3} - x}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} x}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} x}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{3} - lim_{x \to 0} x}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{3} + 0}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 + 0}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 4.1.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 4 x$ heraus.

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{0}{x \cdot x^{2} - 4 x}$

Schritt 4.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{0}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4}$

Schritt 4.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ heraus.

$\frac{0}{x (x^{2} - 4)}$

Schritt 4.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{x (x^{2} - 2^{2})}$

Schritt 4.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{0}{x (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 4.3

Dividiere $0$ durch $x (x + 2) (x - 2)$ .

$0$