Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} {(x - t)}^{2} - x^{2}}{t}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} {(x - t)}^{2} - lim_{x \to 0} x^{2}}{t}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x - t)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x - t)}^{2} - lim_{x \to 0} x^{2}}{t}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} t)}^{2} - lim_{x \to 0} x^{2}}{t}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $t$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x - t)}^{2} - lim_{x \to 0} x^{2}}{t}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x - t)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{t}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{{(0 - t)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{t}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{{(0 - t)}^{2} - 0^{2}}{t}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 0 - t$ und $b = 0$ .

$\frac{(0 - t + 0) (0 - t + 0)}{t}$

Schritt 7.1.2

Vereinfache.

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Schritt 7.1.2.1

Addiere $0 - t$ und $0$ .

$\frac{(0 - t) (0 - t + 0)}{t}$

Schritt 7.1.2.2

Subtrahiere $t$ von $0$ .

$\frac{- t (0 - t + 0)}{t}$

Schritt 7.1.2.3

Addiere $0 - t$ und $0$ .

$\frac{- t (0 - t)}{t}$

Schritt 7.1.2.4

Subtrahiere $t$ von $0$ .

$\frac{- t \cdot - 1 t}{t}$

Schritt 7.1.2.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.1.2.5.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- (t \cdot - 1 t)}{t}$

Schritt 7.1.2.5.2

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{- - (t^{1} t)}{t}$

Schritt 7.1.2.5.3

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{- - (t^{1} t^{1})}{t}$

Schritt 7.1.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- - t^{1 + 1}}{t}$

Schritt 7.1.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- - t^{2}}{t}$

Schritt 7.1.2.5.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 t^{2}}{t}$

Schritt 7.1.2.5.7

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $1$ .

$\frac{t^{2}}{t}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{2}$ und $t$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2}$ heraus.

$\frac{t \cdot t}{t}$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t \cdot t}{t^{1}}$

Schritt 7.2.2.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$\frac{t \cdot t}{t \cdot 1}$

Schritt 7.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t \cdot t}{t \cdot 1}$

Schritt 7.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t}{1}$

Schritt 7.2.2.5

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t$