Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + 1}{x \csc (x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + lim_{x \to 0} 1}{x \csc (x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + 1}{x \csc (x)}$

Schritt 3

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (x)$

Schritt 4

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $x \csc (x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ - 0.1 & 1.00166861 \\ - 0.01 & 1.00001666 \\ - 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

Schritt 5

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $1$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $x \csc (x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $1$ .

$1$

Schritt 6

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (x)$

Schritt 7

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $x \csc (x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ 0.1 & 1.00166861 \\ 0.01 & 1.00001666 \\ 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

Schritt 8

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $1$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $x \csc (x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $1$ .

$\frac{1 + 1}{x \csc (x)}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{x \csc (x)}$

Schritt 9.2

Separiere Brüche.

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\csc (x)}$

Schritt 9.3

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 9.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$\frac{2}{x} (1 \sin (x))$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{2}{x} \sin (x)$

Schritt 9.6

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{x}$