Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \sec (3 x) - 2}{3 x \sec (3 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \sec (3 x) - lim_{x \to 0} 2}{3 x \sec (3 x)}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 0} \sec (3 x) - lim_{x \to 0} 2}{3 x \sec (3 x)}$

Schritt 1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{2 \sec (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} 2}{3 x \sec (3 x)}$

Schritt 1.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 \sec (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2}{3 x \sec (3 x)}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{2 \sec (3 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2}{3 x \sec (3 x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 \sec (3 \cdot 0) - 1 \cdot 2}{3 x \sec (3 x)}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{2 \sec (0) - 1 \cdot 2}{3 x \sec (3 x)}$

Schritt 3.1.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{3 x \sec (3 x)}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{3 x \sec (3 x)}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2}{3 x \sec (3 x)}$

Schritt 3.1.5

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{3 x \sec (3 x)}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\frac{3 (0)}{3 x \sec (3 x)}$

Schritt 3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x \sec (3 x)$ heraus.

$\frac{3 (0)}{3 (x \sec (3 x))}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 0}{3 (x \sec (3 x))}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{x \sec (3 x)}$

Schritt 3.3

Separiere Brüche.

$\frac{0}{x} \cdot \frac{1}{\sec (3 x)}$

Schritt 3.4

Schreibe $\sec (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{0}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (3 x)}}$

Schritt 3.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (3 x)}$ zu dividieren.

$\frac{0}{x} (1 \cos (3 x))$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $\cos (3 x)$ mit $1$ .

$\frac{0}{x} \cos (3 x)$

Schritt 3.7

Dividiere $0$ durch $x$ .

$0 \cos (3 x)$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $0$ mit $\cos (3 x)$ .

$0$