Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} (e^{2 x}) - 1}{5 x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{5 x}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{5 x}$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{5 x}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{5 x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{5 x}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{5 x}$

Schritt 3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{5 x}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{5 x}$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{5 x}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$\frac{5 (0)}{5 x}$

Schritt 3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{5 (0)}{5 (x)}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 0}{5 x}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{x}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $x$ .

$0$