Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{2} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 + \cos (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $\sqrt{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{2} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 + \cos (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + \cos (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos (0)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.1.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (x) \cdot 1}$

Schritt 3.3

Separiere Brüche.

$\frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ nach $\csc^{2} (x)$ um.

$\frac{0}{1} \csc^{2} (x)$

Schritt 3.5

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0 \csc^{2} (x)$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $0$ mit $\csc^{2} (x)$ .

$0$