Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{2 - x^{2}} - \sqrt{2 + x^{2}}}{5 x^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{2 - x^{2}} - lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x^{2}}}{5 x^{2}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 - x^{2}} - lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x^{2}}}{5 x^{2}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} x^{2}} - lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x^{2}}}{5 x^{2}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{2 - lim_{x \to 0} x^{2}} - lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x^{2}}}{5 x^{2}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{2 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x^{2}}}{5 x^{2}}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{2 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 0} 2 + x^{2}}}{5 x^{2}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{2 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x^{2}}}{5 x^{2}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{2 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - \sqrt{2 + lim_{x \to 0} x^{2}}}{5 x^{2}}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{2 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - \sqrt{2 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}{5 x^{2}}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{2 - 0^{2}} - \sqrt{2 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}{5 x^{2}}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{2 - 0^{2}} - \sqrt{2 + 0^{2}}}{5 x^{2}}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{\sqrt{2 - 0} - \sqrt{2 + 0^{2}}}{5 x^{2}}$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0} - \sqrt{2 + 0^{2}}}{5 x^{2}}$

Schritt 11.1.3

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2 + 0^{2}}}{5 x^{2}}$

Schritt 11.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2 + 0}}{5 x^{2}}$

Schritt 11.1.5

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{5 x^{2}}$

Schritt 11.1.6

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{5 x^{2}}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$\frac{5 (0)}{5 x^{2}}$

Schritt 11.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$\frac{5 (0)}{5 (x^{2})}$

Schritt 11.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 0}{5 x^{2}}$

Schritt 11.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{x^{2}}$

Schritt 11.3

Dividiere $0$ durch $x^{2}$ .

$0$