Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} 1 + x \sin (x) - \cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 + lim_{x \to 0} x \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1 + lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1 + lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 + lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 + lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 + 0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 + 0 \cdot \sin (0) - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 + 0 \cdot \sin (0) - \cos (2 \cdot 0)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1 + 0 \cdot 0 - \cos (2 \cdot 0)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{1 + 0 - \cos (2 \cdot 0)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1 + 0 - \cos (0)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.1.6

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1 - 1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.1.7

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (x) \cdot 1}$

Schritt 8.3

Separiere Brüche.

$\frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.4

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ nach $\csc^{2} (x)$ um.

$\frac{0}{1} \csc^{2} (x)$

Schritt 8.5

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0 \csc^{2} (x)$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $0$ mit $\csc^{2} (x)$ .

$0$