Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{1}{6}} {(6 \sin (π x) - 1)}^{3}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(6 \sin (π x) - 1)}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to \frac{1}{6}} 6 \sin (π x) - 1)}^{3}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{6}$ annähert.

${(lim_{x \to \frac{1}{6}} 6 \sin (π x) - lim_{x \to \frac{1}{6}} 1)}^{3}$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(6 lim_{x \to \frac{1}{6}} \sin (π x) - lim_{x \to \frac{1}{6}} 1)}^{3}$

Schritt 1.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

${(6 \sin (lim_{x \to \frac{1}{6}} π x) - lim_{x \to \frac{1}{6}} 1)}^{3}$

Schritt 1.5

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(6 \sin (π lim_{x \to \frac{1}{6}} x) - lim_{x \to \frac{1}{6}} 1)}^{3}$

Schritt 1.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{6}$ annähert.

${(6 \sin (π lim_{x \to \frac{1}{6}} x) - 1 \cdot 1)}^{3}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{6}$ für $x$ .

${(6 \sin (π \frac{1}{6}) - 1 \cdot 1)}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{6}$ .

${(6 \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1)}^{3}$

Schritt 3.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

${(6 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}^{3}$

Schritt 3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

${(2 (3) \frac{1}{2} - 1 \cdot 1)}^{3}$

Schritt 3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 \cdot 3 \frac{1}{2} - 1 \cdot 1)}^{3}$

Schritt 3.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

${(3 - 1 \cdot 1)}^{3}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${(3 - 1)}^{3}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$2^{3}$

Schritt 3.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8$