Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + 2 x - 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{3}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{3}$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{1}{3}$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{3}$ für $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{3}$ für $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3^{2}$ heraus.

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 7.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 7.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 7.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 7.1.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 7.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1 + 2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 7.1.7

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{3}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 7.1.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 7.1.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 7.1.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 7.1.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{\frac{3 - 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 7.1.11.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{\frac{0}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 7.1.12

Dividiere $0$ durch $3$ .

$\frac{0}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1}$

Schritt 7.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1^{2}}$

Schritt 7.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 x$ und $b = 1$ .

$\frac{0}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Schritt 7.3

Dividiere $0$ durch $(3 x + 1) (3 x - 1)$ .

$0$