Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt[4]{x^{4} + 1} - \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt[4]{x^{4} + 1} - lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 0} x^{4} + 1} - lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 1} - lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 1} - lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 1} - lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 1} - \sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 1} - \sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}}{x^{2}}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 1} - \sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}}{x^{2}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 1} - \sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}}{x^{2}}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[4]{0^{4} + 1} - \sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}}{x^{2}}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[4]{0^{4} + 1} - \sqrt{0^{2} + 1}}{x^{2}}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{\sqrt[4]{0 + 1} - \sqrt{0^{2} + 1}}{x^{2}}$

Schritt 11.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{\sqrt[4]{1} - \sqrt{0^{2} + 1}}{x^{2}}$

Schritt 11.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{0^{2} + 1}}{x^{2}}$

Schritt 11.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{0 + 1}}{x^{2}}$

Schritt 11.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{x^{2}}$

Schritt 11.1.6

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 11.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{x^{2}}$

Schritt 11.1.8

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{x^{2}}$

Schritt 11.2

Dividiere $0$ durch $x^{2}$ .

$0$