Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + 4 x)}{\sin (5 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 4 x)}{\sin (5 x)}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{\sin (5 x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{\sin (5 x)}$

Schritt 1.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\ln (1 + 4 lim_{x \to 0} x)}{\sin (5 x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\ln (1 + 4 \cdot 0)}{\sin (5 x)}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Separiere Brüche.

$\frac{\ln (1 + 4 \cdot 0)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)}$

Schritt 3.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (5 x)}$ nach $\csc (5 x)$ um.

$\frac{\ln (1 + 4 \cdot 0)}{1} \csc (5 x)$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{1} \csc (5 x)$

Schritt 3.4

Dividiere $\ln (1 + 0)$ durch $1$ .

$\ln (1 + 0) \csc (5 x)$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\ln (1) \csc (5 x)$

Schritt 3.6

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$0 \csc (5 x)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $0$ mit $\csc (5 x)$ .

$0$