Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} 3 - 3 \cos^{2} (x)}{21 x^{2}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x)}{21 x^{2}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{3 - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x)}{21 x^{2}}$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 - 3 lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{21 x^{2}}$

Schritt 1.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 - 3 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}{21 x^{2}}$

Schritt 1.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{3 - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{21 x^{2}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 - 3 \cos^{2} (0)}{21 x^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (1) - 3 \cos^{2} (0)}{21 x^{2}}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \cos^{2} (0)$ heraus.

$\frac{3 (1) + 3 (- \cos^{2} (0))}{21 x^{2}}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (1) + 3 (- \cos^{2} (0))$ heraus.

$\frac{3 (1 - \cos^{2} (0))}{21 x^{2}}$

Schritt 3.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{3 \sin^{2} (0)}{21 x^{2}}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $21$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sin^{2} (0)$ heraus.

$\frac{3 (\sin^{2} (0))}{21 x^{2}}$

Schritt 3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $21 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (\sin^{2} (0))}{3 (7 x^{2})}$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sin^{2} (0)}{3 (7 x^{2})}$

Schritt 3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin^{2} (0)}{7 x^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0^{2}}{7 x^{2}}$

Schritt 3.6.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{7 x^{2}}$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $7$ .

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Schritt 3.7.1

Faktorisiere $7$ aus $0$ heraus.

$\frac{7 (0)}{7 x^{2}}$

Schritt 3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x^{2}$ heraus.

$\frac{7 (0)}{7 (x^{2})}$

Schritt 3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \cdot 0}{7 x^{2}}$

Schritt 3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{x^{2}}$

Schritt 3.8

Dividiere $0$ durch $x^{2}$ .

$0$