Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} 3 {(x + h)}^{2} - 3 x^{2}}{h}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 {(x + h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Schritt 2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 0} {(x + h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x + h)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $h$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Schritt 6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{2} - 3 lim_{x \to 0} x^{2}}{h}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{2} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{h}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 {(0 + h)}^{2} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{h}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 {(0 + h)}^{2} - 3 \cdot 0^{2}}{h}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(0 + h)}^{2} - 3 \cdot 0^{2}$ heraus.

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Schritt 9.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(0 + h)}^{2}$ heraus.

$\frac{3 ({(0 + h)}^{2}) - 3 \cdot 0^{2}}{h}$

Schritt 9.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \cdot 0^{2}$ heraus.

$\frac{3 ({(0 + h)}^{2}) + 3 (- 0^{2})}{h}$

Schritt 9.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 ({(0 + h)}^{2}) + 3 (- 0^{2})$ heraus.

$\frac{3 ({(0 + h)}^{2} - 0^{2})}{h}$

Schritt 9.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 0 + h$ und $b = 0$ .

$\frac{3 ((0 + h + 0) (0 + h + 0))}{h}$

Schritt 9.1.3

Vereinfache.

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Schritt 9.1.3.1

Addiere $0 + h$ und $0$ .

$\frac{3 ((0 + h) (0 + h + 0))}{h}$

Schritt 9.1.3.2

Addiere $0$ und $h$ .

$\frac{3 (h (0 + h + 0))}{h}$

Schritt 9.1.3.3

Addiere $0 + h$ und $0$ .

$\frac{3 (h (0 + h))}{h}$

Schritt 9.1.3.4

Addiere $0$ und $h$ .

$\frac{3 (h \cdot h)}{h}$

$\frac{3 h \cdot h}{h}$

Schritt 9.1.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 9.1.4.1

Potenziere $h$ mit $1$ .

$\frac{3 (h^{1} h)}{h}$

Schritt 9.1.4.2

Potenziere $h$ mit $1$ .

$\frac{3 (h^{1} h^{1})}{h}$

Schritt 9.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 h^{1 + 1}}{h}$

Schritt 9.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 h^{2}}{h}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $h^{2}$ und $h$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $h$ aus $3 h^{2}$ heraus.

$\frac{h (3 h)}{h}$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Potenziere $h$ mit $1$ .

$\frac{h (3 h)}{h^{1}}$

Schritt 9.2.2.2

Faktorisiere $h$ aus $h^{1}$ heraus.

$\frac{h (3 h)}{h \cdot 1}$

Schritt 9.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (3 h)}{h \cdot 1}$

Schritt 9.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 h}{1}$

Schritt 9.2.2.5

Dividiere $3 h$ durch $1$ .

$3 h$