Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} 7 \sin (x) \cos (x)}{5 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{7 lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}{5 x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{7 lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{5 x}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{7 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{5 x}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{7 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{5 x}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{7 \sin (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{5 x}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{7 \sin (0) \cdot \cos (0)}{5 x}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{7 \cdot 0 \cos (0)}{5 x}$

Schritt 6.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{7 \cdot 0 \cdot 1}{5 x}$

Schritt 6.1.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.1.3.1

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{0 \cdot 1}{5 x}$

Schritt 6.1.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0}{5 x}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$\frac{5 (0)}{5 x}$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{5 (0)}{5 (x)}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 0}{5 x}$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{x}$

Schritt 6.3

Dividiere $0$ durch $x$ .

$0$