Analysis Beispiele

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{8 (x + h) + 9}}{h} - \frac{\sqrt{8 x + 9}}{h}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 8 (x + h) + 9}}{h} - \frac{\sqrt{8 x + 9}}{h}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 8 (x + h) + lim_{h \to 0} 9}}{h} - \frac{\sqrt{8 x + 9}}{h}$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{\sqrt{8 lim_{h \to 0} x + h + lim_{h \to 0} 9}}{h} - \frac{\sqrt{8 x + 9}}{h}$

Schritt 1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{8 (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 9}}{h} - \frac{\sqrt{8 x + 9}}{h}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{8 (x + lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 9}}{h} - \frac{\sqrt{8 x + 9}}{h}$

Schritt 1.6

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{8 (x + lim_{h \to 0} h) + 9}}{h} - \frac{\sqrt{8 x + 9}}{h}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{\sqrt{8 (x + 0) + 9}}{h} - \frac{\sqrt{8 x + 9}}{h}$

Schritt 3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{\sqrt{8 (x + 0) + 9}}{h} - \frac{\sqrt{8 x + 9}}{h}$ .

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Schritt 3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{8 x + 9}}{h} - \frac{\sqrt{8 x + 9}}{h}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $\frac{\sqrt{8 x + 9}}{h}$ von $\frac{\sqrt{8 x + 9}}{h}$ .

$0$