Analysis Beispiele

$\frac{lim_{n \to 8} 4^{n} - 2^{n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} 4^{n} - lim_{n \to 8} 2^{n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{4^{lim_{n \to 8} n} - lim_{n \to 8} 2^{n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{4^{lim_{n \to 8} n} - 2^{lim_{n \to 8} n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{4^{8} - 2^{lim_{n \to 8} n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{4^{8} - 2^{8}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $4$ mit $8$ .

$\frac{65536 - 2^{8}}{2 \cdot 4^{n} - 2^{n}}$

Schritt 5.1.2

Potenziere $2$ mit $8$ .

$\frac{65536 - 1 \cdot 256}{2 \cdot 4^{n} - 2^{n}}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $256$ .

$\frac{65536 - 256}{2 \cdot 4^{n} - 2^{n}}$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $256$ von $65536$ .

$\frac{65280}{2 \cdot 4^{n} - 2^{n}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $4^{n}$ als ${(2^{2})}^{n}$ um.

$\frac{65280}{2 \cdot {(2^{2})}^{n} - 2^{n}}$

Schritt 5.2.2

Schreibe ${(2^{2})}^{n}$ als ${(2^{n})}^{2}$ um.

$\frac{65280}{2 \cdot {(2^{n})}^{2} - 2^{n}}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $u$ aus $2 u^{2} - u$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $u$ aus $2 u^{2}$ heraus.

$\frac{65280}{u (2 u) - u}$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $u$ aus $- u$ heraus.

$\frac{65280}{u (2 u) + u \cdot - 1}$

Schritt 5.2.3.3

Faktorisiere $u$ aus $u (2 u) + u \cdot - 1$ heraus.

$\frac{65280}{u (2 u - 1)}$

Schritt 5.2.4

Ersetze alle $u$ durch $2^{n}$ .

$\frac{65280}{2^{n} (2 \cdot 2^{n} - 1)}$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $2^{n}$ .

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Schritt 5.2.5.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{65280}{2^{n} (2^{1} \cdot 2^{n} - 1)}$

Schritt 5.2.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{65280}{2^{n} (2^{1 + n} - 1)}$