Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x^{3} - 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{8 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 1.3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{8 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{2}$ annähert.

$\frac{8 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} - 1 \cdot 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ für $x$ .

$\frac{8 {(\frac{1}{2})}^{3} - 1 \cdot 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{8 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 1 \cdot 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{8 \frac{1}{2^{3}} - 1 \cdot 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 3.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{8 (\frac{1}{8}) - 1 \cdot 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 (\frac{1}{8}) - 1 \cdot 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 3.1.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot 1 = 6$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{0}{6 x^{2} - 5 (x) + 1}$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $- 5$ um als $- 2$ plus $- 3$

$\frac{0}{6 x^{2} + (- 2 - 3) x + 1}$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0}{6 x^{2} - 2 x - 3 x + 1}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{0}{(6 x^{2} - 2 x) - 3 x + 1}$

Schritt 3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{0}{2 x (3 x - 1) - (3 x - 1)}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$\frac{0}{(3 x - 1) (2 x - 1)}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $(3 x - 1) (2 x - 1)$ .

$0$