Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - 1}{(2 x) + 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{(2 x) + 1}$

Schritt 1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{(2 x) + 1}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{2}$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{(2 x) + 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ für $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}{(2 x) + 1}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}{2 x + 1}$

Schritt 3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\frac{1}{2^{2}} - 1 \cdot 1}{2 x + 1}$

Schritt 3.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{1}{4} - 1 \cdot 1}{2 x + 1}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{4} - 1}{2 x + 1}$

Schritt 3.1.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}{2 x + 1}$

Schritt 3.1.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}{2 x + 1}$

Schritt 3.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}{2 x + 1}$

Schritt 3.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{\frac{1 - 4}{4}}{2 x + 1}$

Schritt 3.1.8.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{\frac{- 3}{4}}{2 x + 1}$

Schritt 3.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{3}{4}}{2 x + 1}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 x + 1}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x + 1}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{(2 x + 1) \cdot 4}$

Schritt 3.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $2 x + 1$ .

$- \frac{3}{4 (2 x + 1)}$