Analysis Beispiele

$\frac{lim_{a \to \frac{π}{3}} \cos (a) - (\frac{1}{2})}{a - \frac{π}{3}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $a$ sich an $\frac{π}{3}$ annähert.

$\frac{lim_{a \to \frac{π}{3}} \cos (a) - lim_{a \to \frac{π}{3}} \frac{1}{2}}{a - \frac{π}{3}}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{a \to \frac{π}{3}} a) - lim_{a \to \frac{π}{3}} \frac{1}{2}}{a - \frac{π}{3}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{2}$ , welcher konstant ist, wenn $a$ sich $\frac{π}{3}$ annähert.

$\frac{\cos (lim_{a \to \frac{π}{3}} a) - \frac{1}{2}}{a - \frac{π}{3}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $a$ durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für $a$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{3}) - \frac{1}{2}}{a - \frac{π}{3}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $6$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (\frac{π}{3}) - \frac{1}{2}}{a - \frac{π}{3}}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{3}) - \frac{1}{2}}{a - \frac{π}{3}}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{6 (\cos (\frac{π}{3}) - \frac{1}{2})}{6 (a - \frac{π}{3})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 \cos (\frac{π}{3}) + 6 (- \frac{1}{2})}{6 a + 6 (- \frac{π}{3})}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$\frac{6 \cos (\frac{π}{3}) + 6 (\frac{- 1}{2})}{6 a + 6 (- \frac{π}{3})}$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 \cos (\frac{π}{3}) + 2 (3) \frac{- 1}{2}}{6 a + 6 (- \frac{π}{3})}$

Schritt 3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cos (\frac{π}{3}) + 2 \cdot 3 \frac{- 1}{2}}{6 a + 6 (- \frac{π}{3})}$

Schritt 3.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 \cos (\frac{π}{3}) + 3 \cdot - 1}{6 a + 6 (- \frac{π}{3})}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{6 \cos (\frac{π}{3}) - 3}{6 a + 6 (- \frac{π}{3})}$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{3}$ in den Zähler.

$\frac{6 \cos (\frac{π}{3}) - 3}{6 a + 6 \frac{- π}{3}}$

Schritt 3.3.3.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 \cos (\frac{π}{3}) - 3}{6 a + 3 (2) \frac{- π}{3}}$

Schritt 3.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cos (\frac{π}{3}) - 3}{6 a + 3 \cdot 2 \frac{- π}{3}}$

Schritt 3.3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 \cos (\frac{π}{3}) - 3}{6 a + 2 (- π)}$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{6 \cos (\frac{π}{3}) - 3}{6 a - 2 π}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6 (\frac{1}{2}) - 3}{6 a - 2 π}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (3) \frac{1}{2} - 3}{6 a - 2 π}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3 \frac{1}{2} - 3}{6 a - 2 π}$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 - 3}{6 a - 2 π}$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{6 a - 2 π}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $2$ aus $6 a - 2 π$ heraus.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6 a$ heraus.

$\frac{0}{2 (3 a) - 2 π}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 π$ heraus.

$\frac{0}{2 (3 a) + 2 (- π)}$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 a) + 2 (- π)$ heraus.

$\frac{0}{2 (3 a - π)}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (0)}{2 (3 a - π)}$

Schritt 3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 0}{2 (3 a - π)}$

Schritt 3.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{3 a - π}$

Schritt 3.7

Dividiere $0$ durch $3 a - π$ .

$0$