Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}{x - \frac{π}{2}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{x - \frac{π}{2}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{x - \frac{π}{2}}$

Schritt 1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{x - \frac{π}{2}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{x - \frac{π}{2}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{x - \frac{π}{2}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{x - \frac{π}{2}}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{2 (1 - \sin (\frac{π}{2}))}{2 (x - \frac{π}{2})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2 x + 2 (- \frac{π}{2})}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2 x + 2 \frac{- π}{2}}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2 x + 2 \frac{- π}{2}}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2 x - π}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$ heraus.

$\frac{2 (1 - \sin (\frac{π}{2}))}{2 x - π}$

Schritt 3.4.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{2 (1 - 1 \cdot 1)}{2 x - π}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (1 - 1)}{2 x - π}$

Schritt 3.4.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{2 \cdot 0}{2 x - π}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{2 x - π}$

Schritt 3.6

Dividiere $0$ durch $2 x - π$ .

$0$