Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{3}{8}} {(15 x)}^{- 4} - 20 x^{8}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{3}{8}$ annähert.

$lim_{x \to \frac{3}{8}} {(15 x)}^{- 4} - lim_{x \to \frac{3}{8}} 20 x^{8}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $- 4$ von ${(15 x)}^{- 4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to \frac{3}{8}} 15 x)}^{- 4} - lim_{x \to \frac{3}{8}} 20 x^{8}$

Schritt 3

Ziehe den Term $15$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(15 lim_{x \to \frac{3}{8}} x)}^{- 4} - lim_{x \to \frac{3}{8}} 20 x^{8}$

Schritt 4

Ziehe den Term $20$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(15 lim_{x \to \frac{3}{8}} x)}^{- 4} - 20 lim_{x \to \frac{3}{8}} x^{8}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $8$ von $x^{8}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(15 lim_{x \to \frac{3}{8}} x)}^{- 4} - 20 {(lim_{x \to \frac{3}{8}} x)}^{8}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{3}{8}$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{3}{8}$ für $x$ .

${(15 (\frac{3}{8}))}^{- 4} - 20 {(lim_{x \to \frac{3}{8}} x)}^{8}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{3}{8}$ für $x$ .

${(15 (\frac{3}{8}))}^{- 4} - 20 {(\frac{3}{8})}^{8}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere $15 (\frac{3}{8})$ .

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Schritt 7.1.1.1

Kombiniere $15$ und $\frac{3}{8}$ .

${(\frac{15 \cdot 3}{8})}^{- 4} - 20 {(\frac{3}{8})}^{8}$

Schritt 7.1.1.2

Mutltipliziere $15$ mit $3$ .

${(\frac{45}{8})}^{- 4} - 20 {(\frac{3}{8})}^{8}$

Schritt 7.1.2

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

${(\frac{8}{45})}^{4} - 20 {(\frac{3}{8})}^{8}$

Schritt 7.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{45}$ an.

$\frac{8^{4}}{45^{4}} - 20 {(\frac{3}{8})}^{8}$

Schritt 7.1.4

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{4096}{45^{4}} - 20 {(\frac{3}{8})}^{8}$

Schritt 7.1.5

Potenziere $45$ mit $4$ .

$\frac{4096}{4100625} - 20 {(\frac{3}{8})}^{8}$

Schritt 7.1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{8}$ an.

$\frac{4096}{4100625} - 20 \frac{3^{8}}{8^{8}}$

Schritt 7.1.7

Potenziere $3$ mit $8$ .

$\frac{4096}{4100625} - 20 \frac{6561}{8^{8}}$

Schritt 7.1.8

Potenziere $8$ mit $8$ .

$\frac{4096}{4100625} - 20 (\frac{6561}{16777216})$

Schritt 7.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.1.9.1

Faktorisiere $4$ aus $- 20$ heraus.

$\frac{4096}{4100625} + 4 (- 5) \frac{6561}{16777216}$

Schritt 7.1.9.2

Faktorisiere $4$ aus $16777216$ heraus.

$\frac{4096}{4100625} + 4 \cdot - 5 \frac{6561}{4 \cdot 4194304}$

Schritt 7.1.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4096}{4100625} + 4 \cdot - 5 \frac{6561}{4 \cdot 4194304}$

Schritt 7.1.9.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4096}{4100625} - 5 (\frac{6561}{4194304})$

Schritt 7.1.10

Kombiniere $- 5$ und $\frac{6561}{4194304}$ .

$\frac{4096}{4100625} + \frac{- 5 \cdot 6561}{4194304}$

Schritt 7.1.11

Mutltipliziere $- 5$ mit $6561$ .

$\frac{4096}{4100625} + \frac{- 32805}{4194304}$

Schritt 7.1.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4096}{4100625} - \frac{32805}{4194304}$

Schritt 7.2

Um $\frac{4096}{4100625}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4194304}{4194304}$ .

$\frac{4096}{4100625} \cdot \frac{4194304}{4194304} - \frac{32805}{4194304}$

Schritt 7.3

Um $- \frac{32805}{4194304}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4100625}{4100625}$ .

$\frac{4096}{4100625} \cdot \frac{4194304}{4194304} - \frac{32805}{4194304} \cdot \frac{4100625}{4100625}$

Schritt 7.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $17199267840000$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $\frac{4096}{4100625}$ mit $\frac{4194304}{4194304}$ .

$\frac{4096 \cdot 4194304}{4100625 \cdot 4194304} - \frac{32805}{4194304} \cdot \frac{4100625}{4100625}$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $4100625$ mit $4194304$ .

$\frac{4096 \cdot 4194304}{17199267840000} - \frac{32805}{4194304} \cdot \frac{4100625}{4100625}$

Schritt 7.4.3

Mutltipliziere $\frac{32805}{4194304}$ mit $\frac{4100625}{4100625}$ .

$\frac{4096 \cdot 4194304}{17199267840000} - \frac{32805 \cdot 4100625}{4194304 \cdot 4100625}$

Schritt 7.4.4

Mutltipliziere $4194304$ mit $4100625$ .

$\frac{4096 \cdot 4194304}{17199267840000} - \frac{32805 \cdot 4100625}{17199267840000}$

Schritt 7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4096 \cdot 4194304 - 32805 \cdot 4100625}{17199267840000}$

Schritt 7.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $4096$ mit $4194304$ .

$\frac{17179869184 - 32805 \cdot 4100625}{17199267840000}$

Schritt 7.6.2

Mutltipliziere $- 32805$ mit $4100625$ .

$\frac{17179869184 - 134521003125}{17199267840000}$

Schritt 7.6.3

Subtrahiere $134521003125$ von $17179869184$ .

$\frac{- 117341133941}{17199267840000}$

Schritt 7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{117341133941}{17199267840000}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{117341133941}{17199267840000}$

Dezimalform:

$- 0.00682244 \dots$