Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} x^{5} - 1000 x^{4}}{2 x^{5} + 10000}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x^{5} - lim_{x \to 8} 1000 x^{4}}{2 x^{5} + 10000}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $5$ von $x^{5}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{5} - lim_{x \to 8} 1000 x^{4}}{2 x^{5} + 10000}$

Schritt 3

Ziehe den Term $1000$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{5} - 1000 lim_{x \to 8} x^{4}}{2 x^{5} + 10000}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{5} - 1000 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{2 x^{5} + 10000}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8^{5} - 1000 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{2 x^{5} + 10000}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8^{5} - 1000 \cdot 8^{4}}{2 x^{5} + 10000}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $8$ mit $5$ .

$\frac{32768 - 1000 \cdot 8^{4}}{2 x^{5} + 10000}$

Schritt 6.1.2

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{32768 - 1000 \cdot 4096}{2 x^{5} + 10000}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1000$ mit $4096$ .

$\frac{32768 - 4096000}{2 x^{5} + 10000}$

Schritt 6.1.4

Subtrahiere $4096000$ von $32768$ .

$\frac{- 4063232}{2 x^{5} + 10000}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{5} + 10000$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{5}$ heraus.

$\frac{- 4063232}{2 (x^{5}) + 10000}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $2$ aus $10000$ heraus.

$\frac{- 4063232}{2 x^{5} + 2 \cdot 5000}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{5} + 2 \cdot 5000$ heraus.

$\frac{- 4063232}{2 (x^{5} + 5000)}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4063232$ und $2$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4063232$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2031616}{2 (x^{5} + 5000)}$

Schritt 6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 2031616}{2 (x^{5} + 5000)}$

Schritt 6.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2031616}{x^{5} + 5000}$

Schritt 6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2031616}{x^{5} + 5000}$