Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{\tan (x - 1)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{\tan (x - 1)}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{\tan (x - 1)}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\tan (x - 1)}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\tan (x - 1)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{\tan (x - 1)}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{\tan (x - 1)}$

Schritt 5.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\tan (x - 1)}$

Schritt 5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{\tan (x - 1)}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1.4.1

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{\tan (x - 1)}$

Schritt 5.1.4.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{0}{\tan (x - 1)}$

Schritt 5.2

Schreibe $\tan (x - 1)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{0}{\frac{\sin (x - 1)}{\cos (x - 1)}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$0 \frac{\cos (x - 1)}{\sin (x - 1)}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{\cos (x - 1)}{\sin (x - 1)}$ .

$0$