Analysis Beispiele

$\frac{lim_{h \to 0} ({(x + h)}^{3}) - x^{3}}{h}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{h}$

Schritt 1.2

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(x + h)}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{h}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{h}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{h}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $x^{3}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - x^{3}}{h}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{{(x + 0)}^{3} - x^{3}}{h}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x + 0$ und $b = x$ .

$\frac{(x + 0 - x) ({(x + 0)}^{2} + (x + 0) x + x^{2})}{h}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{(x - x) ({(x + 0)}^{2} + (x + 0) x + x^{2})}{h}$

Schritt 3.1.2.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 ({(x + 0)}^{2} + (x + 0) x + x^{2})}{h}$

Schritt 3.1.2.3

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{0 (x^{2} + (x + 0) x + x^{2})}{h}$

Schritt 3.1.2.4

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{0 (x^{2} + x \cdot x + x^{2})}{h}$

Schritt 3.1.2.5

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{0 (x^{2} + x^{2} + x^{2})}{h}$

Schritt 3.1.2.6

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{0 (2 x^{2} + x^{2})}{h}$

Schritt 3.1.2.7

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{0 \cdot 3 x^{2}}{h}$

Schritt 3.1.2.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$\frac{0 x^{2}}{h}$

Schritt 3.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$\frac{0}{h}$

Schritt 3.2

Dividiere $0$ durch $h$ .

$0$