Analysis Beispiele

$\frac{lim_{h \to 0} {(- x + h)}^{3} + 13 {(x + h)}^{2} - 40 (x + h) - (- x^{3} + 13 x^{2} - 40 x)}{h^{2}}$

Schritt 1

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert von ${(- x + h)}^{3} + 13 {(x + h)}^{2} - 40 (x + h) - (- x^{3} + 13 x^{2} - 40 x)$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{{(- x + 0)}^{3} + 13 {(x + 0)}^{2} - 40 (x + 0) - (- x^{3} + 13 x^{2} - 40 x)}{h^{2}}$

Schritt 1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in ${(- x + 0)}^{3} + 13 {(x + 0)}^{2} - 40 (x + 0) - (- x^{3} + 13 x^{2} - 40 x)$ .

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Schritt 1.2.1

Addiere $- x$ und $0$ .

$\frac{{(- x)}^{3} + 13 {(x + 0)}^{2} - 40 (x + 0) - (- x^{3} + 13 x^{2} - 40 x)}{h^{2}}$

Schritt 1.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{{(- x)}^{3} + 13 x^{2} - 40 (x + 0) - (- x^{3} + 13 x^{2} - 40 x)}{h^{2}}$

Schritt 1.2.3

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{{(- x)}^{3} + 13 x^{2} - 40 x - (- x^{3} + 13 x^{2} - 40 x)}{h^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$\frac{{(- 1)}^{3} x^{3} + 13 x^{2} - 40 x - (- x^{3} + 13 x^{2} - 40 x)}{h^{2}}$

Schritt 1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- x^{3} + 13 x^{2} - 40 x - (- x^{3} + 13 x^{2} - 40 x)}{h^{2}}$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{3} + 13 x^{2} - 40 x - - x^{3} - (13 x^{2}) - (- 40 x)}{h^{2}}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache.

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Schritt 1.3.4.1

Multipliziere $- - x^{3}$ .

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Schritt 1.3.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- x^{3} + 13 x^{2} - 40 x + 1 x^{3} - (13 x^{2}) - (- 40 x)}{h^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$\frac{- x^{3} + 13 x^{2} - 40 x + x^{3} - (13 x^{2}) - (- 40 x)}{h^{2}}$

Schritt 1.3.4.2

Mutltipliziere $13$ mit $- 1$ .

$\frac{- x^{3} + 13 x^{2} - 40 x + x^{3} - 13 x^{2} - (- 40 x)}{h^{2}}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 40$ mit $- 1$ .

$\frac{- x^{3} + 13 x^{2} - 40 x + x^{3} - 13 x^{2} + 40 x}{h^{2}}$

Schritt 1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- x^{3} + 13 x^{2} - 40 x + x^{3} - 13 x^{2} + 40 x$ .

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Schritt 1.4.1

Addiere $- x^{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{13 x^{2} - 40 x + 0 - 13 x^{2} + 40 x}{h^{2}}$

Schritt 1.4.2

Addiere $13 x^{2} - 40 x$ und $0$ .

$\frac{13 x^{2} - 40 x - 13 x^{2} + 40 x}{h^{2}}$

Schritt 1.4.3

Subtrahiere $13 x^{2}$ von $13 x^{2}$ .

$\frac{- 40 x + 0 + 40 x}{h^{2}}$

Schritt 1.4.4

Addiere $- 40 x$ und $0$ .

$\frac{- 40 x + 40 x}{h^{2}}$

Schritt 1.4.5

Addiere $- 40 x$ und $40 x$ .

$\frac{0}{h^{2}}$

Schritt 2

Dividiere $0$ durch $h^{2}$ .

$0$