Analysis Beispiele

$\frac{lim_{h \to 0} \ln (7 + h) - \ln (7)}{h}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} \ln (7 + h) - lim_{h \to 0} \ln (7)}{h}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{h \to 0} 7 + h) - lim_{h \to 0} \ln (7)}{h}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\ln (lim_{h \to 0} 7 + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \ln (7)}{h}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\ln (7 + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \ln (7)}{h}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $\ln (7)$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\ln (7 + lim_{h \to 0} h) - \ln (7)}{h}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{\ln (7 + 0) - \ln (7)}{h}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Addiere $7$ und $0$ .

$\frac{\ln (7) - \ln (7)}{h}$

Schritt 3.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{7}{7})}{h}$

Schritt 3.1.3

Dividiere $7$ durch $7$ .

$\frac{\ln (1)}{h}$

Schritt 3.1.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{h}$

Schritt 3.2

Dividiere $0$ durch $h$ .

$0$