Analysis Beispiele

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt[12]{{(x + h)}^{6}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt[12]{{(x + h)}^{6}} - lim_{h \to 0} \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[12]{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{6}} - lim_{h \to 0} \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Schritt 1.3

Ziehe den Exponenten $6$ von ${(x + h)}^{6}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt[12]{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{6}} - lim_{h \to 0} \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Schritt 1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt[12]{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{6}} - lim_{h \to 0} \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt[12]{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{6}} - lim_{h \to 0} \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Schritt 1.6

Berechne den Grenzwert von $\sqrt[12]{x^{6}}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt[12]{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{6}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{\sqrt[12]{{(x + 0)}^{6}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{\sqrt[12]{x^{6}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{2})}^{3}$ um.

$\frac{\sqrt[12]{{(x^{2})}^{3}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Schritt 3.1.3

Schreibe $\sqrt[12]{{(x^{2})}^{3}}$ als $\sqrt[4]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}$ um.

$\frac{\sqrt[4]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Schritt 3.1.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt[4]{x^{2}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Schritt 3.1.5

Schreibe $\sqrt[4]{x^{2}}$ als $\sqrt{\sqrt{x^{2}}}$ um.

$\frac{\sqrt{\sqrt{x^{2}}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Schritt 3.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{2})}^{3}$ um.

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt[12]{{(x^{2})}^{3}}}{h}$

Schritt 3.1.8

Schreibe $\sqrt[12]{{(x^{2})}^{3}}$ als $\sqrt[4]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}$ um.

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt[4]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}}{h}$

Schritt 3.1.9

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt[4]{x^{2}}}{h}$

Schritt 3.1.10

Schreibe $\sqrt[4]{x^{2}}$ als $\sqrt{\sqrt{x^{2}}}$ um.

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{\sqrt{x^{2}}}}{h}$

Schritt 3.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x}}{h}$

Schritt 3.1.12

Subtrahiere $\sqrt{x}$ von $\sqrt{x}$ .

$\frac{0}{h}$

Schritt 3.2

Dividiere $0$ durch $h$ .

$0$