Analysis Beispiele

$lim_{t \to \infty} 24 - \frac{16 t^{2}}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} 24 - lim_{t \to \infty} \frac{16 t^{2}}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $24$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$24 - lim_{t \to \infty} \frac{16 t^{2}}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $16$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$24 - 16 lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $t$ im Nenner.

$24 - 16 lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t^{2}}{t^{2}}}{{(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{2}$ .

$24 - 16 lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$24 - 16 \frac{lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} {(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$24 - 16 \frac{1}{lim_{t \to \infty} {(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

Schritt 3.4

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$24 - 16 \frac{1}{{(lim_{t \to \infty} \frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

Schritt 3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$24 - 16 \frac{1}{{(lim_{t \to \infty} \frac{t}{t} + lim_{t \to \infty} \frac{2}{t})}^{2}}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 - 16 \frac{1}{{(lim_{t \to \infty} \frac{t}{t} + lim_{t \to \infty} \frac{2}{t})}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$24 - 16 \frac{1}{{(lim_{t \to \infty} 1 + lim_{t \to \infty} \frac{2}{t})}^{2}}$

Schritt 3.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$24 - 16 \frac{1}{{(1 + lim_{t \to \infty} \frac{2}{t})}^{2}}$

Schritt 3.8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$24 - 16 \frac{1}{{(1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{t})}^{2}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{t}$ $0$ .

$24 - 16 \frac{1}{{(1 + 2 \cdot 0)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$24 - 16 \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}}$

Schritt 5.1.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$24 - 16 \frac{1}{1^{2}}$

Schritt 5.1.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$24 - 16 (\frac{1}{1})$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 - 16 (\frac{1}{1})$

Schritt 5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$24 - 16 \cdot 1$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$24 - 16$

Schritt 5.2

Subtrahiere $16$ von $24$ .

$8$