Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (5 x)}{x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \arcsin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert von $\arcsin (5 x)$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\arcsin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{\arcsin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (5 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\arcsin (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(5 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(5 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4

Wende die Produktregel auf $5 (x)$ an.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - (5^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - (25 x^{2})}} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.7

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.8

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}}{1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} \frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} \cdot 1$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$5 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 25 x^{2}}}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$5 \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 25 x^{2}}}$

Schritt 2.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$5 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - 25 x^{2}}}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$5 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 25 x^{2}}}$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$5 \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} 25 x^{2}}}$

Schritt 2.7

Ziehe den Term $25$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 \frac{1}{\sqrt{1 - 25 lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Schritt 2.8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$5 \frac{1}{\sqrt{1 - 25 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 \frac{1}{\sqrt{1 - 25 \cdot 0^{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 \frac{1}{\sqrt{1 - 25 \cdot 0}}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 25$ mit $0$ .

$5 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Schritt 4.1.3

Addiere $1$ und $0$ .

$5 \frac{1}{\sqrt{1}}$

Schritt 4.1.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$5 (\frac{1}{1})$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{1}{1})$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$5 \cdot 1$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$