Analysis Beispiele

$\frac{lim_{h \to 0} x + h + \frac{9}{x + h} - x - \frac{9}{x}}{h}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} \frac{9}{x + h} - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} \frac{9}{x}}{h}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} \frac{9}{x + h} - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} \frac{9}{x}}{h}$

Schritt 3

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{x + lim_{h \to 0} h + 9 lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h} - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} \frac{9}{x}}{h}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{x + lim_{h \to 0} h + 9 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h} - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} \frac{9}{x}}{h}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{x + lim_{h \to 0} h + 9 \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h} - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} \frac{9}{x}}{h}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{x + lim_{h \to 0} h + 9 \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} \frac{9}{x}}{h}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{x + lim_{h \to 0} h + 9 \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} \frac{9}{x}}{h}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{x + lim_{h \to 0} h + 9 \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h} - x - lim_{h \to 0} \frac{9}{x}}{h}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $\frac{9}{x}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{x + lim_{h \to 0} h + 9 \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h} - x - \frac{9}{x}}{h}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{x + 0 + 9 \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h} - x - \frac{9}{x}}{h}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{x + 0 + 9 \frac{1}{x + 0} - x - \frac{9}{x}}{h}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{x + 0 + 9 \frac{1}{x} - x - \frac{9}{x}}{h}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x + 0 + \frac{9}{x} - x - \frac{9}{x}}{h}$

Schritt 11.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{x + \frac{9}{x} - x - \frac{9}{x}}{h}$

Schritt 11.2.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{\frac{9}{x} + 0 - \frac{9}{x}}{h}$

Schritt 11.2.4

Addiere $\frac{9}{x}$ und $0$ .

$\frac{\frac{9}{x} - \frac{9}{x}}{h}$

Schritt 11.2.5

Subtrahiere $\frac{9}{x}$ von $\frac{9}{x}$ .

$\frac{0}{h}$

Schritt 11.3

Dividiere $0$ durch $h$ .

$0$