Analysis Beispiele

$\frac{lim_{h \to 0} \ln (e + h) - 1}{h}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} \ln (e + h) - lim_{h \to 0} 1}{h}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{h \to 0} e + h) - lim_{h \to 0} 1}{h}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\ln (lim_{h \to 0} e + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} 1}{h}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $e$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\ln (e + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} 1}{h}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\ln (e + lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{h}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{\ln (e + 0) - 1 \cdot 1}{h}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Addiere $e$ und $0$ .

$\frac{\ln (e) - 1 \cdot 1}{h}$

Schritt 3.1.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{h}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{h}$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{h}$

Schritt 3.2

Dividiere $0$ durch $h$ .

$0$