Analysis Beispiele

$lim_{y \to 0} \frac{\sin (3 y) \cot (5 y)}{y \cdot \cot (4 y)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{y \to 0} \sin (3 y) \cot (5 y)}{lim_{y \to 0} y \cdot \cot (4 y)}$

Schritt 2

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{y \to 0^{-}} \sin (3 y) \cot (5 y)$

Schritt 3

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\sin (3 y) \cot (5 y)$ zeigt, wenn sich $y$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} y & \sin (3 y) \cot (5 y) \\ - 0.1 & 0.5409461 \\ - 0.01 & 0.59940999 \\ - 0.001 & 0.5999941 \\ - 0.0001 & 0.59999994 \end{array}$

Schritt 4

Mit Annäherung der $y$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0.6$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\sin (3 y) \cot (5 y)$ für $y$ gegen $0$ gleich $0.6$ .

$0.6$

Schritt 5

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{y \to 0^{+}} \sin (3 y) \cot (5 y)$

Schritt 6

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\sin (3 y) \cot (5 y)$ zeigt, wenn sich $y$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} y & \sin (3 y) \cot (5 y) \\ 0.1 & 0.5409461 \\ 0.01 & 0.59940999 \\ 0.001 & 0.5999941 \\ 0.0001 & 0.59999994 \end{array}$

Schritt 7

Mit Annäherung der $y$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0.6$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\sin (3 y) \cot (5 y)$ für $y$ gegen $0$ gleich $0.6$ .

$\frac{0.6}{lim_{y \to 0} y \cdot \cot (4 y)}$

Schritt 8

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{y \to 0^{-}} y \cdot \cot (4 y)$

Schritt 9

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $y \cdot \cot (4 y)$ zeigt, wenn sich $y$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} y & y \cdot \cot (4 y) \\ - 0.1 & 0.23652224 \\ - 0.01 & 0.24986665 \\ - 0.001 & 0.24999866 \end{array}$

Schritt 10

Mit Annäherung der $y$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0.25$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $y \cdot \cot (4 y)$ für $y$ gegen $0$ gleich $0.25$ .

$0.25$

Schritt 11

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{y \to 0^{+}} y \cdot \cot (4 y)$

Schritt 12

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $y \cdot \cot (4 y)$ zeigt, wenn sich $y$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} y & y \cdot \cot (4 y) \\ 0.1 & 0.23652224 \\ 0.01 & 0.24986665 \\ 0.001 & 0.24999866 \end{array}$

Schritt 13

Mit Annäherung der $y$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0.25$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $y \cdot \cot (4 y)$ für $y$ gegen $0$ gleich $0.25$ .

$\frac{0.6}{0.25}$

Schritt 14

Dividiere $0.6$ durch $0.25$ .

$2.4$