Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(x - 1)}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{{(1 - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{{(1 - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Schritt 1.1.3.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{{(x - 1)}^{3}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]}$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 1.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Schritt 1.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)}$

Schritt 1.3.7

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1}$

Schritt 1.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (3 {(x - 1)}^{2})}$

Schritt 2

Da der Zähler positiv ist und der Nenner $x (3 {(x - 1)}^{2})$ für $x$ auf beiden Seiten nahe $1$ gegen Null geht und größer als Null ist, steigt die Funktion ohne Schranke an.

$\infty$