Analysis Beispiele

$lim_{x \to π} \sin (\frac{x}{2} - π)$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\sin (lim_{x \to π} \frac{x}{2} - π)$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$\sin (lim_{x \to π} \frac{x}{2} - lim_{x \to π} π)$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sin (\frac{1}{2} lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} π)$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $π$ annähert.

$\sin (\frac{1}{2} lim_{x \to π} x - π)$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\sin (\frac{1}{2} π - π)$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $π$ .

$\sin (\frac{π}{2} - π)$

Schritt 3.2

Um $- π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 3.3

Kombiniere $- π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sin (\frac{π - π \cdot 2}{2})$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\sin (\frac{π - 2 π}{2})$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $2 π$ von $π$ .

$\sin (\frac{- π}{2})$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.7

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 3.8

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 3.9

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$